M/M/1待ち行列

今回はネットワークスペシャリスト令和3年　午前Ⅱ　問23で出題された問題を解説します。M/M/1行列モデルを利用した待ち時間の計算です。数式を丸暗記しているだけだと試験で数式を忘れたらどうしようもありませんので各変数の意味を理解しておくことが大切です。

M/M/1待ち行列のモデルは以下の式で表せます

$$ W = \frac{\rho}{1-\rho}\times{Ts} $$

$${\rho}=\frac{\lambda}{\mu}$$

各変数の意味は以下です

ρ（利用率）は混雑具合とイメージするとわかりやすいです。ρが大きいと大混雑、逆にρが小さいと空いている状態です。またρがとることができる範囲は0以上1未満です。

ρ（利用率）はλ（平均到達率）が大きいと大きくなります。λは1秒あたりに到達するファイル数の意味なので、1秒あたりに到達するファイルが多いと利用率が大きくなる（混雑する）のはイメージできると思います。

またρ(利用率)はμ(平均サービス率)が大きいと小さくなります。μは1秒あたりに処理するファイル数なので、1秒あたりに処理できるファイル数が多いと利用率が小さくなる（空いている）こともイメージできると思います。

以上を踏まえて問題を解いていきます。

1時間に6個のファイル要求があるので平均到達率は

$${\lambda}=\frac{6}{60×60}=\frac{1}{600} (ファイル/秒)$$

平均サービス時間は

$$Ts=\frac{1ファイルの平均の大きさ}{1秒間に印字できる大きさ}$$

$$Ts=\frac{7500}{50}=150(秒/ファイル)$$

平均サービス率は平均サービス時間の逆数なので

$${\mu}=\frac{1}{150}(ファイル/秒)$$

以上より利用率は

$${\rho}=\frac{\lambda}{\mu}=\frac{1}{600}\times\frac{150}{1}$$

$${\rho}=\frac{1}{4}=0.25(単位なし)$$

これより平均待ち時間は

$$W=\frac{0.25}{1-0.25}\times{150}=50(秒)$$

プリントが終了するまでの待ち時間は自分の番が来るまでの待ち時間Wとファイルの処理時間Tsの和なので

$$W+Ts=200(秒)$$

答えはウになります。